Mathematik #1 – Geometrie #1

Tja, worums in Mathematik geht, das brauche ich glaube ich keinem mehr zu erläutern… Have fun 🙂
 

Dieser Post steht unter der GPL.

Geometrie

Heute geht es um ein paar (nicht mal ansatzweise um eine vollständige Übersicht) Theorien zum Thema Geometrie. Der Anlass ist, dass ich gemerkt habe, dass ich mein Wissen in diesem Fachgebiet wieder auffrischen muss, um die Übungsaufgaben meines Lehrbuches eines anderen Fachgebiets, der Analysis, besser meistern zu können. Deswegen nehme ich dies zum Anlass, ein bisschen über die Geometrie zu schwadronieren. AMS-User dürfen sich darüber „freuen“, dass ich nach meiner Klausur einen fetten Mathe-Sammelthread ins Forum stellen werde xD.

Mantelfläche

Zunächst einmal gibt es ja verschiedene Größen, die man in der Geometrie an einem Körper ausrechnen kann. Für mich war zunächst einmal interessant, was es denn mit der „Mantelfläche“ auf sich hat. Und ich glaube, ich hab es soweit richtig verstanden, dass das sozusagen nur die „aufgerollte“ Seitenfläche des Körpers ohne Grund- und Deckfläche ist.

[Wikipedia]

Die schraffierte Fläche ist quasi die ausgerollte Wand des Zylinders

Wenn wir jetzt die Formel zur Bestimmung der Mantelfläche bestimmen wollen, müssen wir systematisch vorgehen. Ich habe allgemein die Angewohnheit, dass ich eine Aufgabe immer in ihre Komponenten zerlege, und dann jede komponente für sich erst einmal vereinfache, und dann erst zusammenfüge und die Aufgabe löse. Wer sich jetzt nicht vorstellen kann, was ich meine, wird das die nächsten paar Posts dieser Kategorie merken. Zurück zum Beispiel. Wir müssen zuerst bei einem beliebigen Körper die Mantelfläche im Geiste ausrollen.

[wikipedia]

Hier haben wir die ausgerollte Mantelfläche eines Kegelstumpfs, die eines Kegels sieht aber ähnlich aus. Jetzt gehe ich immer so vor, dass ich diese Mantelfläche im Geiste in ein Viereck verwandele, also eine Seite ist die Seite a (Länge) und die andere die Seite b (Breite). Die Länge wäre bei mir der Kreisbogen, die Breite die Strecke s und die Strecke m zusammenadiert. Die Länge des Kreisbogens ergibt sich aus Π*r, die Länge der beiden Strecken aus deren Summe. Die Fläche ist a*b, also erhalten wir als Formel für die Mantelfläche des Kegels Π*r*(m+s)

Rotationskörper

Was ist eigentlich ein Rotationskörper? Ein Rotationskörper entsteht, wenn man einen Funktionsgraphen um eine Achse des koordinatensystems rotieren lässt, auf dem er gezeichnet wurde. Ein gutes Beispiel ist dieses Bild

[Wikipedia]

Es wird zuerst eine Sinuskurve in einem zweidimensionalen Koordinatensystem gezeichnet. Dieses rotiert dann um die x-Achse, die für uns nicht sichtbar ist. Diese Rotation konstruiert dann einen vasenähnlichen Körper.

Bei der Rotation eines Kreises etwa würde ein Torus entstehen. wenn man einen nicht ganz geschlossenen kreis, eine sogenannte Kreislinie, um die x-Achse rotieren lässt, entsteht eine Kugel, wobei die Länge der x-Achse den Kugeldurchmesser bestimmt.

Kreiszahl Π

Jeder kennt die Kreiszahl Π, aber ich will sie in diesem Post nochmal aufgreifen, weil ich finde, dass sich viele Probleme aus der Geometrie von selbst ergeben, wenn man sie „verstanden“ hat.

Π hat zwei Definitionen

Nr. 1

Π ist ein Proportionalitätsfaktor, also eine Verhältniszahl. Genauer gesagt: sie ist das Verhältnis vom Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser. Das ergibt sich bereits aus der Gleichung des Umfang eines Kreises:

U = \pi \, d =  2 \pi \, r.

[Wikipedia]

Wenn U größer wird, wird auch der Radius des Kreises größer und umgekehrt, aber das Verhältnis bleibt immer gleich

Ich vergleiche das immer gerne mit dem Ohmschen Gesetz U=R*I. Ein ohmscher Widerstand bleibt immer gleich, egal welcher Stromstärke durch ihn fließt. Somit bleibt der Widerstand genau so konstant wie Π, wenn man U durch I teilt.

Nr. 2

Und für Nummer zwei verweise ich euch auf den entsprechenden Anker in der Wikipedia, weil man es geiler einfach nicht erklären kann als die mit ihrer Flächenannäherung. Dabei wird sehr anschaulich hergeleitet, dass die Fläche eines Kreises proportional zum Quadrat des Radius ist. Wenn ihr die formel umstellt, dann seht ihr, dass auch hier Pi wieder eine Verhältniszahl ist. Und somit ergibt sich die zweite Definition:

Π ist die Fläche eines Kreises mit dem Radius 1

 

Gut, das nächste mal mache ich wahrscheinlich mit Flächen und Körpern weiter, denn mit der Kenntniss der Kreiszahl wäre beispielsweise möglich, die Formeln für das Volumen der Kugel herzuleiten und so weiter. Aber jetzt muss ich das soeben erworbene Wissen weiter anwenden :).

So long

Freak out

 

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